「未払利息」は負債だから「貸方」。それが振り替えられ借方に移るのは理解できるのですが、「支払利息」は費用なので本来借方に来るもののように考えてしまいます。この貸方の「支払利息」はどのように理解すれば良いのでしょうか？

まず、決算整理仕訳で、

(借)支払利息　 1,000
/(貸)未払利息　 1,000
という仕訳をしたとします。決算日が平成25年12月31日で、例えば平成25年の9月から4カ月分の支払利息だったとします。これは当期中の支払利息であるところ、支払日が次期以降となり未払いの状態であるということです。
そして、平成26年1月1日は翌期となりますので、決算整理仕訳の逆仕訳をします。
(借)未払利息　 1,000
/(貸)支払利息　 1,000

貸方の支払利息は当期の費用ではなく、あくまでも前期の費用なので、その分費用を減らすため一時的に費用の勘定科目である支払利息が貸方に出てくることになります。

さらに会計期間が当期になって、

仮に平成26年２月に支払利息1,500円(平成25年9月から平成26年2月分まで)を支払ったとします。
仕訳は
(借)支払利息　1,500
/(貸)現金など　1,500
となります。

これをＴ勘定で支払利息勘定に転記すると、支払利息勘定の借方には1,500、貸方には1,000が転記されます。
この時点で支払利息勘定の残高は借方500となります。

借方の1,500は、平成25年9月～平成26年2月分、貸方の1,000は、平成25年9月～平成25年12月分ということで、決算日が毎年12月31日だったとしたら、平成26年2月時点で支払利息勘定の借方500というのは、平成26年1月～2月の2カ月分をあらわしていることになります。

このように当期の費用・収益の金額を財務諸表上に正しく載せるためにこの再振替仕訳が非常に重要であるということがいえます。